Latihan Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) Kelas 10 Lengkap Dengan Pembahasannya
Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Pada pertemuan ini kita membahas kumpulan contoh Soal dari materi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Materi ini terdapat dalam salah satu bab Pelajaran Matematika SMA dan MA khususnya kelas 10 kurikulum terbaru. Materi ini mencakup Cara Penyelesaian Persamaan Menggunakan Metode subtitusi, Eliminasi , Gabungan , dan determinan. Dengan adanya contoh soal ini, kami berharap dapat membantu para siswa untuk memahami materi dan persiapan dalam menghadapi latihan, maupun ujian akhir.
A. Contoh Soal Metode Subtitusi
1. Tentukan himpunan penyelesaian (x, y, z) dari 3 persamaan dibawah ini menggunakan metode subtitusi
1. Tentukan himpunan penyelesaian (x,y,z) dari persamaan:
x – 2y + 3z = 13
x + 3y – z = -4
2x – 3y + 2z = 13
Pembahasan:
Untuk menyesaikan penyelesaian diatas gunakan salah satu metode misalnya subtitusi
x – 2y + 3z = 13 ..... (1)
x + 3y – z = -4 ..... (2)
x – 3y + 2z = 11 ..... (3)
langkah awal ubah persamaan 1 ke bentuk x
X – 2y + 3z = 13
x = 2y – 3z + 13 ..... (4)
langkah 2 subtitusikan persamaan ini (4) ke persamaan 2
x + 3y – z = -4
(2y – 3z + 13) + 3y – z = -4
5y – 4z = -17 .... (5)
langkah 3 subtitusikan persamaan (4) persamaan 3
2x – 3y + 2z = 13
2(2y – 3z + 13) – 3y + 2z = 13
4y – 6z + 26 – 3y + 2z = 13
Y – 4z = -13 ....(6)
Langkah 4 : ubah persamaan 5 ke bentuk y
5y – 4z = -17
Y = (4z – 17)/5
Langkah 5 : subtitusikan persamaan persamaan 5 ke persamaan 6
Y – 4z = -13
((4z - 4)/5) – 4z = -13
((4z - 17)/5) – (20z/5) = - 13
(-16z – 17) /5 = -13
(-16z – 17) = -13 x 5
(-16z – 17) = -65
-16z = -65 + 17
-16z = -48
z = -48/-16
z = 3
langkah 6 : masukan nilai z ke persamaan 5 untuk mengetahui y
5y – 4z = -17
5y – 4(3) = -17
5 tahun = -17 + 12
5 tahun = -5
y = -1
langkah 7 : masukan nilai y ke persamaan 1
x – 2y + 3z = 13
x – 2(-1) + 3(3) = 13
x – (-2) + 9 = 13
x + 11 = 13
x = 13 – 11
x = 2
Jadi penyesaian himpunan persamaan tiga diatas variabel (x, y, z) adalah 2, -1, 3
B. Metode Gabungan (Eliminasi dan Subtitusi)
2. Jika diketahui 3 persamaan yaitu (3x – y + 3z = -2), (2x + 4y – z = 28), dan (2x – 3y + 2z = -13), tentukan himpunan ( x, y, dan z) ) menggunakan metode gabungan eliminasi dan subtitusi
Pembahasan:
3x – y + 3z = -2 .... (1)
2x + 4y – z = 28 ..... (2)
2x – 3y + 2z = -13 .... (3)
Langkah 1 : eliminasi persamaan 1 dan 2
(3x – y + 3z = -2) x (2) = 6x – 2y + 6z = -4
(2x + 4y – z = 28) x (3) = 6x + 12y – 3z = 84 -
-14y + 9z = -88 ..... (4)
Langkah 2 : eliminasi persamaan 2 dan 3
(2x + 4y – z = 28) x (1) = 2x + 4y – z = 28
(2x – 3y + 2z = -13) x (1) = 2x – 3y + 2z = -13 -
7y – 3z = 41 ..... (5)
Langkah 3: elimanasi persamaan 4 dan 5
-14y + 9z = -88 (x 1) = -14y + 9z = -88
7y – 3z = 41 (x 2) = 14y – 6z = 82 +
3z = -6
z = -6/3
z= -2
langkah 4 : langkah ke tiga memperoleh nilai z = -2, selanjutnya untuk memperoleh nilai y, subtitusikan z ke salah satu persamaan 4 atau 5
misal subtitusi z ke persamaan 5
7y – 3z = 41 .... (5)
7y – 3z = 41
7y – 3(-2) = 41
7y = 41 – 6
7Y = 35
Y = 35/7
Y=5
Langkah terakhir : setelah didapat nilai z dan y, slanjutnya subtitusikan nilai tersebut ke salah satu persamaan 1, 2, dan 3
Misal subtitusikan z dan y ke persamaan 1
3x – y + 3z = -2 .... (1)
3x – y + 3z = -2
3x – (5) + 3(-2) = -2
3x – 11 = -2
3x = -2 + 11
3x = 9
x = 9/3
x = 3
Jadi himpunan penyelesaian sistem persamaan linear diatas dengan metode eliminasi dan subtitusi
Adalah x = 3, y = 5 dan z = -2
C. Contoh Soal Metode Determinan
3. Jika diketahui 3 persamaan yaitu (4a + 5b – 3c = 25), (3a – 2b + c = -1), dan (a + 3b + 3c = 17), tentukan himpunan ( a, b, dan c) menggunakan gabungan metode determinan matriks
Pembahasan:
Langkah 1 : ubah persamaan – persamaan diatas ke dalam bentuk matrik
D = (( 4 x -2 x 3) + (5 x 1 x 1) + (-3 x 3 x 3) – ((1 x -2 x -3) + (3 x 1 x 4) + (3 x3x5 ))
= (-24 + 5 - 27) – (6 + 12 + 45)
= -46 – 63
= -109
Dx = (( 25 x -2 x 3) + (5 x 1 x 17) + (-3 x -1 x 3) – ((17 x -2 x -3) + (3 x 1 x 25) + ( 3x-1x5 ))
Dx = (-150 + 85 + 9) – (102 + 75 - 15)
Dx = -56 – 162
Dx = -218
Tentukan nilai x
x = Dx/D
x = -218/-109
x = 2
Dy = (( 4 x -1 x 3) + (25 x 1 x 1) + (-3 x 3 x 17) – ((1 x -1 x -3) + (17 x 1 x 4) + (3 x3x25 ))
Dy = (-12 + 25 – 153) – (3 + 68 + 225)
Dy = -140 – 296
Hari = -436
Tentukan nilai y
y = Dy/D
y = -436/-109
y = 4
Dz = (( 4 x -2 x 17) + (5 x -1 x 1) + (25 x 3 x 3) – ((1 x -2 x 25) + (3 x -1 x 4) + (17 x3x5 ))
Dz = (-136 – 5 + 225) – (-50 – 12 + 255)
Dz = 84 – 193
Dz = -109
Tentukan nilai z
z = Dz/D
z = -109/-109
z = 1
Jadi himpunan himpunan persamaan linear tiga variabel di atas adalah x = 2, y = 4, dan z = 1
D. Contoh Soal Cerita Kehidupan Sehari – hari
4. Udin membeli 2 kg jeruk, 4 kg nanas, dan 2 kg apel seharga Rp 106.000. Nia membeli 1 kg jeruk, 5 kg nanas dan 1 kg apel untuk Rp 77.000. Sedangkan Tino membeli 3 kg jeruk, 2 kg dan 4 kg apel seharga Rp 152.000. Berapa harga masing – masing untuk 1 kg Jeruk, Nanas, dan Apel?
Pembahasan:
misalkan:
Jeruk = x
Nanas = y
Apel = z
Persamaan – persamaan yang diketahui:
Udin = 2x + 4y + 2z = 106.000 .... (1)
Nia = x + 5y + z = 77.000 ..... (2)
Tino = 3x + 2y + 4z = 152.000 ..... (3)
Untuk menentukan Harga masing – masing dari Jeruk (x), Nanas (y), dan apel (z) dengan mudah, Gunakan metode Gabungan (Eliminasi dan Subtitusi)
langkah 3 : langkah ke dua memperoleh nilai y = 8.000, selanjutnya untuk memperoleh nilai z, subtitusikan y ke salah satu persamaan 5
subtitusi y ke persamaan 5
13y – z = 79.000 .... (5)
13 tahun – z = 79.000
13(8.000) – z = 79.000
104.000 – z = 79.000
-z = 79.000 – 104.000
-z = -25.000
z = 25.000
Langkah terakhir : setelah didapat nilai y dan z, slanjutnya subtitusikan nilai tersebut ke salah satu persamaan 1, 2, dan 3 untuk mendapatkan nilai x
Misal subtitusikan y dan z ke persamaan 1
2x + 4y + 2z = 106.000 .... (1)
2x + 4(8.000) + 2(25.000) = 106.000
2x + 32.000 + 50.000 = 106.000
2x + 82.000 = 106.000
2x = 106.000 – 82.000
2x = 24.000
x = 24.000/2
x = 12.000
Dari metode ganungan untuk sistem persamaan liniear di atas didapatkan:
Harga 1 kg Jeruk (x) = Rp 12.000
Harga 1 kg nanas (y) = Rp 8.000
Harga 1 kg apel (z) = Rp 25.000
Jadi harga untuk masing – masing dari 1 kg jeruk, nanas, dan apel adalah Rp. 12.000, Rp 8.000, dan Rp 25.000