Kumpulan Soal fungsi, komposisi, dan invers Beserta Pembahasan Jawaban Secara Lengkap
Untuk meningkatkan pemahaman tentang materi fungsi, komposisi dan invers, maka harus sering-sering berlatih mengerjakan soal fungsi, komposisi, dan invers. Berikut ini adalah kumpulan soal-soal beserta penjelasan lengkap cara pengerjaannya agar pemahaman semakin meningkat.
Daftar Soal Fungsi, Komposisi, dan Invers serta Penjelasan Lengkap
1. Diketahui suatu himpunan bilangan disebut sebagai himpunan A memiliki anggota {1, 2, 3, 4, 5} dan himpunan B memiliki anggota {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Suatu fungsi f: A → B ditentukan oleh persamaan f(x) = x + 1. Tentukan berapakah range fungsi f.
Jawab:
f(x) = x + 1
f(1) = 1 + 1 = 2
f(2) = 2 + 1 = 3
f(3) = 3 + 1 = 4
f(4) = 4 + 1 = 5
f(5) = 5 + 1 = 6
Sehingga range fungsi f adalah {2, 3, 4, 5, 6}
2. Diketahui himpunan P = {h, i, j, k} dan Q = {2, 3, 4}. Tentukan setiap produk dari Cartesius berikut ini.
a. P x Q
b. Q x P
c. P x P
Jawab:
a. P x Q = {(x, y)| x Є P dan y Є Q} = {(h, 2), (i, 2), (j, 2), (k, 2), (h, 3), (i, 3), (j, 3), (k, 3), (h, 4), (i, 4), (j, 4), (k, 4)}
b. Q x P = {(x, y)| x Є Q dan y Є P} = {(2, h), (3, h), (4, h), (2, i), (3, i), (4, i), (2, j), (3, j), (4, j), (2, k), (3, k), (4, k)}
c. P x P = {(x, y)| x Є P dan y Є P} = {(h, h), (h, i), (h, j), (h, k), (i, h), (i, i), (i, j), (i, k), (j, h), (j, i), (j, j), (j, k), (k, h), (k, i), (k, j), (k, k)}
Harus dipahami bahwa pada produk Cartesius berlaku hokum dimana jika himpunan pertama (contoh himpunan P) ada sebanyak 4 dan himpunan kedua (contoh himpunan Q) ada sebanyak 3, maka banyak anggota produk Cartesius P x Q adalah 4 x 3 yakni 12 anggota.
3. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan kurva grafik fungsi kuadrat f yang ditentukan oleh persamaan f(x) = x² + 2x – 3
Tentukan:
a. Domain atau daerah asal fungsi f
b. Daerah hasil (range) fungsi f
c. Nilai maksimum dari fungsi f
d. Nilai minimum pada fungsi f
e. Koordinat titik balik minimum
Jawab:
a. Domain atau daerah asal fungsi f {x | -4 ≤ x ≤ 2}
b. Daerah hasil (range) fungsi f: {y | -4 ≤ y ≤ 5}
c. Nilai maksimum dari fungsi f: 5
d. Nilai minimum pada fungsi f: -4
e. Pembuat nol fungsi f yakni nilai: -3 dan 1 (Dilihat di sumbu x pada titik mana kurva bernilai y = 0)
f. Koordinat titik balik minimum: (-1, -4)
4. Diketahui suatu fungsi f(x) = 2x + 5 dan fungsi g(x) = x² + 2x – 4. Tentukan berapakah fungsi (f + g) (x).
Jawab:
(f + g) (x) = f (x) + g (x)
(f + g) (x) = 2x + 5 + x² + 2x – 4
(f + g) (x) = x² + 4x + 1
5. Diketahui fungsi g (x) = 4x + 2. Tentukan fungsi invers g-1(x).
Jawab:
g (x) = 4x + 2
y = 4x + 2
y – 2 = 4x
x = (y – 2)/4
x
= 
– ½
g(y) = ¼ y – ½
g-1(x) = ¼ x – ½
6. Diketahui fungsi f(x) = x + 3. Tentukan fungsi invers f-1(x).
Jawab:
f(x) = x + 3
y = x + 3
x = y – 3
f-1(x) = x - 3
7. Diketahui suatu fungsi f (x) = 3x² + x +7 dan fungsi g (x) = 3x - 4. Tentukan berapakah fungsi (f - g) (x).
Jawab:
(f - g) (x) = f (x) – g (x)
(f - g) (x) = 3x² + x +7 – (3x – 4)
(f - g) (x) = 3x² + x + 7 – 3x + 4
(f - g) (x) = 3x² - 2x + 11
8. Diketahui suatu fungsi f (x) = x² - 4 dan fungsi g (x) = x - 2. Tentukan berapakah fungsi (f/g) (x)
Jawab:
(f/g) (x) = f (x) / g (x)
(f/g) (x) = (x2 – 4) / (x – 2)
(f/g) (x) = ((x – 2) (x + 2)) / (x – 2)
(f/g) (x) = x + 2
10. Diketahui suatu fungsi (f + g) (x) = 3 x² + 8x + 7 .Diketahui bahwa fungsi g (x) = x² - 3x + 12. Tentukan berapakah fungsi f (x)
Jawab:
(f + g) (x) = f (x) + g (x)
3 x² + 8x + 7 = f (x) + x² - 3x + 12
f (x) = 3 x² + 8x + 7 – (x² - 3x + 12)
f (x) = 3 x² + 8x + 7 – x² + 3x - 12
f (x) = 2 x² + 11x – 5
11. Apabila diketahui bahwa persamaan pada fungsi f (x) = 2x² - 3 dan fungsi g (x) = 5x + 11. Tentukan beberapa hal di bawah ini:
a. (g o f) (x)
b. (f o g) (x)
c. Tentukan apakah berlaku sifat komutatif dari g o f = f o g
Jawab:
a. (g o f) (x)
= g (f (x))
= g (2x² - 3)
= 5 (2x² - 3) + 11
= 10x² - 15 + 11
= 10x² - 4
b. (f o g) (x)
= f (g (x))
= f (5x + 11)
= 2 (5x + 11)² - 3
= 2 (25x² + 110 x + 121) – 3
= 50x² + 220x + 242 – 3
= 50x² + 220x + 239
c. Dengan melihat hasil persamaan (g o f) (x) dan (f o g) (x) di atas, bias terlihat bahwa (g o f) (x) ≠(f o g) (x)
12. Diketahui fungsi f(x) = 2x² + x dan fungsi g(x) = 3x + 1 maka tentukan berapakah (f o g)(x)
Jawab:
(f o g)(x) = f (g (x))
f (3x + 1) = 2 . (3x + 1)² + (3x + 1)
f (3x + 1) = 2 . (9x² + 6x + 1) + (3x + 1)
f (3x + 1) = 18x² + 12x + 2 + 3x + 1
f (3x + 1) = 18x² + 15x + 3
6. Diketahui suatu fungsi f (x) = 5x + 9 dan fungsi g (x) = 2x² - 4. Tentukan berapakah fungsi (f . g) (x) = f (x) . g (x)
Jawab:
(f . g) (x) = f (x) . g (x)
(f . g) (x) = (5x + 9) . (2x² - 4)
(f . g) (x) = 10x³ - 20x + 18x² - 36
(f . g) (x) = 10x³ + 18x² - 20x - 36
13. Diketahui bahwa persamaan pada fungsi f (x) = x² - 1 dan fungsi g (x) = x + 2 serta h (x) = 12x. Tentukan beberapa hal di bawah ini:
a. (f o (g o h)) (x)
b. ((f o g) o h) (x)
c. Tentukan apakah nilai (f o (g o h)) (x) = ((f o g) o h) (x)
Jawab:
a. (f o (g o h)) (x)
Untuk mengerjakan fungsi komposisi dengan 3 fungsi, maka dikerjakan dua fungsi komposisi di dalam tanda kurung terlebih dahulu.
(g o h) (x) = g (h (x))
g (h (x)) = g (12x)
g (h (x)) = 12x + 2
Selanjutnya bisa dikerjakan dengan menggabungkannya dengan fungsi komposisi ketiga.
(f o (g o h)) (x)
= f (12x + 2)
= (12x + 2)² - 1
= (144x² + 24x + 24x + 4) -1
= 144x² + 48x + 3
b. ((f o g) o h) (x)
Seperti pada soal pertama, untuk mengerjakan fungsi komposisi dengan 3 fungsi, maka dikerjakan dua fungsi komposisi di dalam tanda kurung terlebih dahulu yakni (f o g) (x)
(f o g) (x)
= f (g (x))
= f (x + 2)
= (x + 2)² - 1
= (x² + 2x + 2x + 4) – 1
= x² + 4x + 3
Jika dimisalkan bahwa (f o g) (x) adalah p (x), maka fungsi komposisi selanjutnya dikerjakan dengan cara berikut ini:
((f o g) o h) (x)
= ( p o h) (x)
= p (h (x))
= p (12x)
= (12x)² + 4 (12x) + 3
= 144x² + 48x + 3
c. Ya nilai dari fungsi komposisi (f o (g o h)) (x) = ((f o g) o h) (x) karena berlaku sifat asosiatif
Invers adalah operasi matematika yang mencari kebalikan dari suatu fungsi sementara fungsi komposisi yaitu menyederhanakan fungsi berurutan menjadi fungsi baru. Semakin banyak berlatih mengerjakan soal fungsi, komposisi, dan invers, maka pemahaman pun semakin baik dan pengetahuan lebih terasah.