Kumpulan Contoh Soal Persamaan Kuadrat Lengkap Dengan Pembahasan Dan Jawaban
Pada pertemuan ini kita akan membahas contoh Soal Persamaan Kuadrat. Persamaan kuadrat mulai dipelajari pada kelas 9 SMP/MTS, setelah selesai dipelajari di jenjang smp, materi ini juga dipelajari dan dipakai pada jenjang SMA/MA/SMK. Artikel ini merangkum berbagai soal persamaan kuadrat dan pembahasan lengkap yang terdiri dari metode pemfaktoran, menentukan akar, kuadrat sempurna dan sebagainya. Persamaan kuadrat sendiri adalah bentuk persamaan matematika dengan variabel tertinggi berderajat dua.
Kumpulan Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasan Lengkap
1. Diketahui persamaan kuadrat x² + 5 = 3 (x – 1) memiliki bentuk umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Tentukan berapakah nilai-nilai koefisien a, b dan juga c dari persamaan kuadrat tersebut.
Jawab:
Pertama-tama persamaan kuadrat x² + 5 = 3 (x – 1) diubah ke bentuk umumnya:
x² + 5 = 3 (x – 1)
x² + 5 = 3x – 3
x² + 5 + 3 - 3x = 0
x² - 3x + 8 = 0
Sehingga nilai koefisien a = 1, b = -3, c = 8
2. Diketahui persamaan kuadrat x² - 3x + c = 0 mempunyai salah satu akar sebesar 5. Tentukan berapakah nilai konstanta c yang memenuhi persamaan kuadrat di atas.
Pembahasan:
Nilai akar apabila disubstitusikan ke dalam variabel x maka akan memberikan hasil 0.
x² - 3x + c = 0
5² - 3 . 5 + c = 0
25 – 15 + c = 0
10 + c = 0
c = -10
Sehingga nilai c yang memenuhi persamaan kuadrat di atas adalah -10
3. Diketahui persamaan kuadrat y² + (2n – 1) y – 2n = 0 memiliki akar yang nyata dan berlainan. Tentukan bagaimanakah batas nilai n yang memenuhi kondisi akar tersebut.
Pembahasan:
Harus dipahami bahwa pada persamaan kuadrat dengan bentuk umum x² + bx + c = 0 akan memiliki akar-akar yang nyata dan berlainan apabila nilai D > 0.
Pada persamaan kuadrat y² + (2n – 1) y – 2n = 0, memiliki nilai koefisien:
a = 1
b = 2n – 1
c = -2n
Persamaan kuadrat y² + (2n – 1) y – 2n = 0 akan mempunyai akar-akar nyata dan berlainan jika:
D > 0
b² - 4ac > 0
(2n – 1)² - 4 . 1 . (-2n) > 0
4n² - 4n + 1 + 8n > 0
4n² + 4n + 1 > 0
(2n + 1)² = 0
Sehingga himpunan penyelesaian atau akar-akar dari pertidaksamaan di atas adalah n > - ½ atau n < - ½.
4. Tentukan berapakah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut dengan cara pemfaktoran:
a. x² + 8x = 0
b. x² - x - 12 = 0
c. x + 4 = -18 / (x – 7)
Pembahasan:
a. x² + 8x = 0
x ( x + 8) = 0
x = 0 atau
x + 8 = 0
x = -8
Sehingga himpunan penyelesaian = {-8, 0}
b. x² - x - 12 = 0
(x + 3) (x – 4) = 0
(x + 3) = 0
x = -3
atau
x – 4 = 0
x = 4
Sehingga himpunan penyelesaian = {-3, 4}
c. x + 4 = -18 / (x – 7)
(x + 4) (x – 7) = -18
x² - 7x + 4x – 28 = -18
x² - 3x – 28 + 18 = 0
x² - 3x – 10 = 0
(x + 2) (x – 5) = 0
x + 2 = 0
x = -2
atau
x – 5 = 0
x = 5
Sehingga himpunan penyelesaian = {-2, 5}
5. Tentukan berapakah akar persamaan di bawah ini menggunakan rumus abc:
a. x² + 6x + 8 = 0
b. x² - 8x + 15 = 0
c. x² - 3x – 28 = 0
Pembahasan:
Pembahasan:
Pertama-tama akar x1 = 3 disubstitusikan ke dalam variabel x untuk mendapatkan nilai konstanta c.
x² - 7x + c = 0
(3)² - 7 . 3 + c = 0
9 – 21 + c = 0
-12 + c = 0
c = 12
Sehingga bentuk persamaan kuadrat tersebut adalah x² - 7x + 12 = 0. Selanjutnya persamaan kuadrat difaktorkan:
x² - 7x + 12 = 0
(x – 4) (x – 3) = 0
x = 4 atau x = 3
7. Toko mesin jahit menjual mesin jahit rakitan sendiri dengan biaya yang dikeluarkan untuk merakit mesin mesin jahit selama satu bulan adalah Rp 16.200.000. Mesin jahit yang dirakit kemudian dijual di toko dan berhasil terjual beberapa unit hingga tersisa sebanyak 6 unit saja.
Jika hasil penjualan mesin jahit menghasilkan keuntungan per unit sebesar Rp 300.000 dengan total penjualan sebesar Rp 14.400.000. Tentukan ada berapa banyak mesin jahit yang berhasil diproduksi selama jangka waktu satu minggu.
Pembahasan:
Tahap pertama dimisalkan bahwa jumlah mesin pompa air yang berhasil dirakit dalam sebulan adalah n, maka berlaku persamaan:
Biaya perakitan per unit mesin jahit = 16.200.000 / n
Harga jual setiap unit mesin jahit bisa dihitung dengan membagi hasil penjualan mesin jahit dengan jumlah mesin yang terjual.
Jumlah yang terjual: n - 6 (sisa 6 mesin jahit).
Harga jual setiap mesin jahit sebesar = 14.400.000 / (n – 6)
Keuntungan bisa dihitung dengan mengurangi harga jual barang (H) dengan biaya modal (M) yakni biaya perakitan barang.
Solusi dari persamaan kuadrat n² - 324 = 0 yaitu n = -18 atau n = 18. Nilai n = -18 tidak mungkin karena jumlah unit mesin jahit yang diproduksi tidak mungkin negatif. Sehingga jawaban yang benar adalah n = 18 atau 18 unit.
8. Diketahui persamaan kuadrat x² + 2x – 35 = 0 memiliki akar-akar persamaan x1 dan x2. Tentukan berapakah hasil dari penjumlahan akar-akar x1 + x2
Pembahasan:
Persamaan kuadrat x² + 2x – 35 = 0 diketahui:
a = 1
b = 2
c = -35
Selanjutnya jumlah akar-akar persamaan kuadrat bisa dihitung dengan rumus:
x1 + x2 = -b/a
x1 + x2 = -2/1
x1 + x2 = -2
9. Diketahui persamaan kuadrat memiliki bentuk x² + bx + c = 0 dengan akar-akar persamaannya adalah 4 dan -3. Tentukan berapakah nilai b dan c yang memenuhi persamaan kuadrat di atas.
Pembahasan:
Diketahui nilai akar-akar persamaan kuadrat x1 = 4 dan x2 = -3 dengan koefisien a = 1. Untuk mendapatkan nilai b dengan menjumlahkan akar-akarnya:
x1 + x2 = -b/a
4 + (-3) = -b/1
1 = -b
b = -1
Untuk mendapatkan nilai c dengan mengalikan kedua akarnya:
x1 . x2 = c/a
4 . (-3) = c/1
-12 = c
10. Tentukan bentuk kuadrat sempurna dari persamaan kuadrat berikut x² - 6x + 8 = 0
Pembahasan:
x² - 6x + 8 = 0
x² - 6x + 9 – 9 + 8 = 0
x² - 6x + 9 – 1 = 0
x² - 6x + 9 = 1
(x – 3)² = 1
Sehingga bentuk kuadrat sempurna persamaan kuadrat tersebut adalah (x – 3)² = 1
11. Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar sebesar 3 dan -6. Tentukan berapakah persamaan kuadratnya.
Pembahasan:
(x – x1) (x – x2) = 0
(x – 3) (x – (-6)) = 0
(x – 3) (x + 6) = 0
x² + 6x – 3x – 18 = 0
x² + 3x – 18 = 0
12. Persamaan kuadrat memiliki bentuk x² - 8x + 16 = 0. Tentukan bagaimanakah jenis akar-akarnya.
Pembahasan:
x² - 8x + 16 = 0
(x – 4) (x – 4) = 0
(x – 4)² = 0
x = 4
Sehingga akarnya berjenis real kembar. Bisa juga diketahui dengan menghitung diskriminannya.
D = b² - 4ac
D = (-8)² - 4 (1) (16)
D = 64 – 64 = 0
Coba kerjakan kumpulan soal persamaan kuadrat dan pembahasan di atas untuk membantu siswa meningkatkan pemahaman mengenai materi persamaan kuadrat. Akar persamaan kuadrat bisa dihitung dengan metode pemfaktoran atau rumus abc.