Kumpulan Soal Integral dan Pembahasan Lengkap
Materi integral adalah materi penting yang berkaitan dengan turunan dari suatu fungsi. Bisa dikatakan bahwa integral adalah kebalikan dari diferensial atau turunan fungsi atau disebut anti turunan. Untuk lebih memahami materi integral, berikut beberapa soal integral dan pembahasan lengkap.
3. Suatu garis singgung kurva mempunyai nilai kemiringan atau gradient sebesar 2x + 12 di titik (x,y). Jika diketahui bahwa kurva tersebut melalui titik (-1, 5), berapakah persamaan kurva tersebut?
Pembahasan:
Persamaan kurva bisa dihitung dengan mengintegralkan persamaan gradient garis singgung di dalam soal.
f’ (x) = dy/dx = 2x + 12
f (x) = y = ∫ (2x + 12) dx = x² + 12x + C
Konstanta C bisa dihitung dengan informasi bahwa kurva tersebut melalui titik (-1, 5) yang disubstitusikan ke variabel x dan y.
f (x) = x² + 12x + C
f (-1) = (-1)² + 12 (-1) + C
5 = 1 – 12 + C
5 = -11 + C
C = 16
Sehingga persamaan kurva menjadi f (x) = x² + 12x + 16
4. Diketahui turunan dari fungsi y = f (x) adalah dy/dx = f’ (x) = 2x + 7. Apabila kurva y = f (x) melewati titik (2, 9), hitunglah persamaan kurva tersebut.
Pembahasan:
Diketahui turunan f’ (x) = 2x + 7
Sehingga y = f (x) = ∫ (2x + 7) dx = x² + 7x + C
Kurva melewati titik (2, 9) artinya nilai f (2) = 9, dari sini dapat ditentukan nilai konstanta C.
f (x) = x² + 7x + C
f (2) = (2)² + 7 (2) + C
9 = 4 + 14 + C
9 = 18 + C
C = 9 – 18 = -9
Sehingga persamaan kurva yang dimaksud yaitu y = f (x) = x² + 7x – 9
5. Diketahui biaya marginal sebuah pabrik ditunjukkan oleh persamaan Mc = 6 Q² - 4Q + 11 dimana variabel Q adalah banyak unit serta biaya tetap k = 7 dengan k merupakan konstanta integral. Tentukan persamaan biaya total (C)
Pembahasan:
7. Hitunglah integral dari ∫ (4x³ - 6x² + x – 12) dx
Pembahasan:
∫ (4x³ - 6x² + x – 12) dx
= 4 ∫ x³ dx – 6 ∫ x² dx + ∫ x dx – ∫ 12 dx
= 4/4 x⁴ - 6/3 x³ + 1/2 x² - 12x
= x⁴ - 2x³ + 1/2 x² - 12x
11. Tentukan hasil integral dari ∫ sin (4x + 2) cos (4x + 2) dx
Pembahasan:
Untuk mengerjakan soal ini, maka pertama-tama fungsi di dalam integral yakni sin (4x + 2) cos (4x + 2) diubah ke dalam rumus trigonometri sudut rangkap terlebih dahulu. Sementara 4x + 2 disubstitusi ke dalam variabel b, sehingga:
sin b cos b = ½ sin 2b
Sehingga integral persamaan di atas dapat dirubah menjadi:
∫ sin (4x + 2) cos (4x + 2) dx
= ∫ ½ sin 2 . (4x + 2) dx
= ∫ ½ sin (8x + 4) dx
= ½ ∫ sin (8x + 4) dx
= 1/2 . (- 1/8) cos (8x + 4) + C
= - 1/16 cos (8x + 4) + C
Sehingga:
∫ sin (4x + 2) cos (4x + 2) dx = - 1/16 cos (8x + 4) + C
12. Diketahui h’ (x) = 2x – 6 serta h (3) = 4, tentukan berapakah fungsi h (x).
Pembahasan:
h (x) = ∫ h’ (x) dx
h (x) = ∫ (2x – 6) dx
h (x) = x² - 6x + C
Untuk menghitung nilai konstanta C, maka nilai h (3) = 4 disubstitusikan ke dalam persamaan di atas.
h (x) = x² - 6x + C
h (3) = (3)² - 6 (3) + C
4 = 9 – 18 + C
4 = -9 + C
C = 13
Sehingga fungsi h (x) = x² - 6x + 13
13. Hitunglah hasil integral dari ∫ 4x⁷ + 5 dx
Pembahasan:
∫ 4x⁷ + 5 dx
= 4/(7 + 1) x⁸ + 5x + C
= 4/8 x⁸ + 5x + C
= ½ x⁸ + 5x + C
14. Hitunglah hasil integral dari ∫ 105x⁴ + 6x dx
Jawab:
∫ 105x⁴ + 6x dx
= 105/5 x⁵ + 6/2 x² + C
= 21 x⁵ + 3 x² + C
Materi integral berkaitan dengan perhitungan luas suatu kurva atau bidang datar. Dibutuhkan pengetahuan mengenai sifat-sifat integral saat mengerjakan soal integral. Perbanyak berlatih soal integral dan pembahasan untuk membantu dalam memahami perhitungan yang melibatkan operasi integral.
Referensi:
Anwar, Cecep dan Pesta, E. S, dkk. 2008. Matematika Aplikasi Untuk SMA/MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional
Ari, Rosihan, dkk. 2009. Khazanah Matematika Untuk SMA/MA Kelas XII Program Studi Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional