Kumpulan Soal Matriks dan Pembahasan Lengkap
Matriks adalah susunan dari bilangan, simbol dan juga karakter yang disusun berdasarkan susunan baris dan juga kolom. Simbol, angka, bilangan di dalam matriks adalah elemen matriks. Untuk meningkatkan pemahaman materi matriks, di bawah ini adalah kumpulan soal matriks dan pembahasan.
O = (13 22 -10 -11 )
P = (1 2 5 7 )
Q = (3 4 -1 5 )
Hitunglah:
a. O + P
b. O + Q
c. P + Q
d. O + P + Q
Pembahasan:
a. O + P
= (13 22 -10 -11 ) + (1 2 5 7 )
= (13+ 1 22+ 2 -10+ 5 -11+ 7 )
= (14 24 -5 -4 )
b. O + Q
= (13 22 -10 -11 ) + (3 4 -1 5 )
= (13+ 3 22+ 4 -10+ -1 -11+ 5 )
= (16 26 -11 -6 )
c. P + Q
= (1 2 5 7 ) + (3 4 -1 5 )
= (1+ 3 2+ 4 5+ -1 7+ 5 )
= (4 6 4 12 )
d. O + P + Q
= (13 22 -10 -11 ) + (1 2 5 7 ) + (3 4 -1 5 )
= (14 24 -5 -4 ) + (3 4 -1 5 )
= (17 28 -6 1 )
2. Jika diketahui dua buah matriks sebagai berikut:
H = (7 11 -5 -1 )
I = (-1 2 6 -3 )
Tentukan:
a. H + I = J, tentukan invers matriks J
b. J = HI, tentukan invers matriks J
Pembahasan:
3. Diketahui terdapat matriks A = [4 -2 ], B = [-5 1 ], C = [1 6 -3 2 ] serta matriks D = [4 -1 10 2 3 -1 ]
Tentukan nilai dari perkalian matriks berikut ini:
a. A x B
b. B x C
c. C x D
d. A x C
Jawab:
a. A x B
= [4 -2 ] . [-5 1 ]
= [4 (-5) 4 (1) -2 (-5) -2 (1) ]
= [-20 4 10 -2 ]
b. B x C
= [-5 1 ] [1 6 -3 2 ]
= [(-5 x 1)+ (1 x (-3)) (-5 x 6)+ (1 x 2) ]
= [(-5+ -3) (-30 + 2)]
= [-8 -28 ]
c. C x D
= [1 6 -3 2 ] . [4 -1 10 2 3 -1 ]
= [(1 x 4)+(6 x 2) (1 x-1)+(6 x 3) (-3 x 4)+(2 x 2) (-3 x-1)+(2 x 3) (1 x 10)+(6 x-1) (-3 x 10)+(2 x-1) ]
= [4+12 -1+18 -12+4 3+6 10+-6 -30+-2 ]
=[16 -17 -8 9 4 -32 ]
d. A x C
= [4 -2 ] . [1 6 -3 2 ]
Tidak bisa dilakukan operasi perkalian matriks karena jumlah kolom dari matriks A tidak sama jumlahnya dengan jumlah baris dari matriks C
4. Hitunglah berapa nilai p + q yang memenuhi perkalian matriks di bawah ini:
(p 4 6 q ) x (1 2 7 8 ) = (31 38 41 52 )
Jawab:
Pertama-tama kedua matriks dikalikan. Selanjutnya hasil perkalian tersebut disubstitusikan dengan elemen hasil perkalian matriks yang sudah disediakan di soal.
(p 4 6 q ) x (1 2 7 8 ) = (31 38 41 52 )
(p+28 2p+32 6+7q 12+8q ) = (31 38 41 52 )
Nilai setiap elemennya dapat disubstitusikan dengan nilai elemen dari matriks sebelah kanan:
p + 28 = 31
p = 31 – 28
p = 3
6 + 7q = 41
7q = 41 – 6
7q = 35
q = 5
Maka:
p + q
= 3 + 5
= 8
5. Jika diketahui matriks P, Q dan R sebagai berikut:
P = (-2 1 4 -3 )
Q = (5 -2 6 7 )
R = (1 -3 -4 7 )
Tentukan berapakah nilai dari P (Q + R)
Pembahasan:
= (-2 1 4 -3 ) x {(5 -2 6 7 ) + (1 -3 -4 7 )}
= (-2 1 4 -3 ) x (6 -5 2 14 )
= ((-2 . 6)+(1 .2) (-2 .-5)+(1 .14) (4 .6)+(-3 .2) (4 .-5)+(-3 . 14) )
= ((-12+ 2) (10+ 14) (24+ -6) (-20+42) )
= (-10 24 18 22 )
6. Diketahui matriks C = (b 1 a -1 ) dan D = (a -1 1 1 ) dan matriks CD = (9 -1 15 -5 ). Tentukan berapakah nilai ab.
Pembahasan:
CD = (9 -1 15 -5 )
(b 1 a -1 ) (a -1 1 1 ) = (9 -1 15 -5 )
(ab+1 -b+1 a²-1 -a-1 ) = (9 -1 15 -5 )
Selanjutnya variabel a dan b bisa dihitung dengan substitusi elemen matriks hasil perkalian
-a – 1 = -5
a = -1 + 5
a = 4
-b + 1 = -1
b = 1 + 1
b = 2
Maka nilai a x b = 4 x 2 = 8
7. Apabila matriks J = |9 1 6 -2 -7 3 |, tentukan nilai dari di bawah ini:
a. 5J
b. 2J
c. 3 (2J)
Pembahasan:
a. 5J
= 5 |9 1 6 -2 -7 3 |
= |5 .9 5 .1 5 .6 5 .-2 5 .-7 5 .3 |
= |45 5 30 -10 -35 15 |
b. 2J
= 2 |9 1 6 -2 -7 3 |
= |2 .9 2 .1 2 .6 2 .-2 2 .-7 2 .3 |
= |18 2 12 -4 -14 6 |
c. 3 (2J)
= 3 x (2 |9 1 6 -2 -7 3 |)
= 3 x |2 .9 2 .1 2 .6 2 .-2 2 .-7 2 .3 |
= 3 x |18 2 12 -4 -14 6 |
= |3 .18 3 .2 3 .12 3 .-4 3 .-14 3 .6 |
= |54 6 36 -12 -42 18 |
8. Jika diketahui matriks F = (3 -1 6 -5 ). Maka tentukan:
a. F²
b. F³
c. 2 F⁴
Pembahasan :
a. F²
F² = F x F
F² = (3 -1 6 -5 ) (3 -1 6 -5 )
F² = ((3 x 3)+(-1 x 6) (3 x -1)+(-1 x-5) (6 x 3)+(-5 x 6) (6 x-1)+(-5 x-5) )
F² = (9+ -6 -3+5 18+ -30 -6+25 )
F² = (3 2 -12 19 )
b. F³ = F x F x F
F³ = F² x F
F³ = (3 2 -12 19 ) (3 -1 6 -5 )
F³ = ((3 x 3)+(2 x 6) (3 x-1)+(2 x-5) (-12 x 3)+(19 x 6) (-12 x-1)+(19 x-5) )
F³ = (9+12 -3+ -10 -36+114 12+ - 95 )
F³ = (21 -13 78 -83 )
c. 2 F⁴ = 2 F x F³
2 F⁴ = 2 (3 -1 6 -5 ) (21 -13 78 -83 )
2 F⁴ = 2 ((3 x 21)+(-1 x 78) (3 x-13)+(-1 x-83) (6 x 21)+(-5 x 78) (6 x-13)+(-5 x-83) )
2 F⁴ = 2 (63+-78 -39+83 126+ -390 -78+415 )
2 F⁴ = 2 (-15 44 -264 337 )
2 F⁴ = (-30 88 -528 674 )
9. Budi membeli piring dan gelas di dua toko berbeda. Saat di toko A, Budi membeli 3 piring dan 2 gelas. Sementara di toko B, Budi membeli sebanyak 4 piring dan 3 gelas. Harga piring dan gelas di kedua toko A dan B sama, yakni Rp 8.000,00 dan Rp 5.000,00 per buah.
Hitunglah berapa uang yang harus dibayarkan oleh Budi dengan cara perkalian matriks?
Pembahasan :
Untuk mengerjakan soal di atas sebenarnya bisa dengan langsung mengalikan jumlah barang dengan harga masing-masing barang. Namun jika menggunakan konsep perkalian matriks, maka pertama-tama barang dan harga dibuat ke dalam tabel seperti di bawah ini.
Dimisalkan terdapat dua buah matriks yakni matriks jumlah barang dibeli (G) dan matriks harga (H).
G = (3 2 4 3 )
H = = [8.000 5.000 ]
Maka biaya yang harus dibayarkan oleh Budi adalah hasil perkalian dari matriks G dan matriks H.
G x H = (3 2 4 3 ) [8.000 5.000 ]
G x H = [(3 x 8.000)+(2 x 5000) (4 x 8.000)+(3 x 5.000) ]
G x H = [24.000+10.000 32.000+15.000 ]
G x H = [34.000 47.000 ]
Maka total biaya yang harus dibayarkan oleh Budi ke kedua toko adalah:
Biaya = 34.000 + 47.000
Biaya = 81.000
10. Tentukan nilai g, h, j, k yang memenuhi persamaan matriks di bawah ini:
a. 4 (g 6j -3 g ) = 3 (-4 -8 3+j 2h )
b. 5 (g 2h -2 1 ) = (10 -20 25 5 )
c. 2 (2g -h -j k+j ) = (4h 4 -g -1/2 h )
Pembahasan:
Untuk menjawab soal ini maka harus dilakukan perkalian matriks kemudian substitusi elemen matriks yang bersesuaian
a. 4 (g 6j -3 g ) = 3 (-4 -8 3+j 2h )
(4g 24j -12 4g ) = (-12 -24 9+3j 6h )
Selanjutnya dilakukan substitusi variabel g:
4g = -12
g = -3
Selanjutnya substitusi variabel j:
24 j = - 24
j = -1
Selanjutnya substitusi variabel h:
4g = 6h
4 x -3 = 6h
-12 = 6h
h = -2
b. 5 (g 2h -2 1 ) = (10 -20 25 5 )
(5g 10h -10 5 ) = (10 -20 25 5 )
Selanjutnya dilakukan substitusi variabel g:
5g = 10
g = 2
Substitusi variabel h:
10h = -20
h = -2
c. 2 (2g -h -j k+j ) = (4h 4 -g -1/2 h )
(4g -2h -2j 2k+2j ) = (4h 4 -g -1/2 h )
Selanjutnya substitusi variabel h:
-2h = 4
h = -2
Substitusi variabel g:
4g = 4h
4g = 4 x -2
4g = -8
g = -2
Substitusi variabel j:
-2j = -g
-2j = - (-2)
-2j = 2
j = -1
Substitusi variabel k:
2k + 2j = -1/2 h
2k + 2 (-1) = -1/2 (-2)
2k – 2 = 1
2k = 3
k = 3/2
11. Tentukan nilai p dan q dari persamaan di bawah ini:
a. [p q ] + [-2q q ] = [-1 4 ]
b. [2p+1 p-4 ] - [3q -q ] = [9 -2 ]
Jawab:
a. [p q ] + [-2q q ] = [-1 4 ]
[p + -2q 2q ] = [-1 4 ]
2q = 4
q = 2
p + -2q = -1
p + -2 (2) = -1
p + -4 = -1
p = -1 + 4
p = 3
b. [2p+1 p-4 ] - [3q -q ] = [9 -2 ]
[2p-3q+1 p+q-4 ] = [9 -2 ]
2p – 3q + 1 = 9
2p – 3q = 8 (a)
p + q – 4 = -2
p + q = 2 (b)
Dilakukan eliminasi:
2p – 3q = 8 x 1
p + q = 2 x 2
2p – 3q = 8
2p + 2q = 4
_______________-
-5q = 4
q = -4/5
Substitusi nilai q ke persamaan (b)
p + q = 2
p + (-4/5) = 2
p – 0,8 = 2
p = 2,8
Matriks ditulis menggunakan huruf kapital. Saat mengerjakan soal matriks dan pembahasan, sangat penting untuk mengetahui cara pengoperasian hitung pada penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dan sebagainya. Agar perhitungan lebih mudah, maka sifat operasi hitung matriks harus dipahami.
Referensi:
Anwar, Cecep dan Pesta, E. S, dkk. 2008. Matematika Aplikasi Untuk SMA/MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional